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수학교육

곱의 미분의 대안적 증명

by Oh 선생 2016.05.20

#1. 미분의 곱셈법칙은 이거다.

 


그리고 이렇게 증명한다.

 



 

출처: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B1%EA%B7%9C%EC%B9%99

 

이 증명은 읽을 때는 별거 아니지만 막상 스스로 써보려고 하면 제법 어렵다.

 

위에 빨간 네모로 표시한 부분을 형식적으로 더했다 빼야 하기 때문이다.



 


#2.

 

그런데 오늘 페북 들어가니 아래와 같은 사진이 있다.



 An Alternative Approach to the Product Rule,

The American Mathematical Monthly, Vol. 123, No. 5 (May 2016), p. 470.

 

곱의 미분법에 대한 또다른 증명이란다. 연쇄법칙을 이용한 증명. 읽어보니 내용이 간략하고 재미져서 간단히 번역하여 소개한다.

 

곱의 미분에 대한 대안적 접근

 

곱의 미분에 대한 일반적인 증명은 같은 양을 더했다 빼는 과정을 포함한다. 이 과정은 학생들에게 직관적이지 않을 수 있다. 이 증명은 fg(f+g)^2의 항이라는 사실을 이용한다.

 

합성함수의 미분(power rule인데, 이걸 뭐라 번역하나 싶어서 그냥 합성함수의 미분으로 쓴다)을 이용하면



이다.

 

한편 좌변을 전개한 뒤 미분하면,



이다.

 

두 식의 우변을 비교해보면,


 

 임을 알 수 있다.

 

이 계산을 하기 위해서 합성함수의 미분을 알아야 할 필요는 없다. 왜냐하면 함수의 제곱에 대한 미분으로부터 쉽게 식이 유도되기 때문이다.




끗.  

댓글5

  • 이호형 2016.05.21 12:26

    와 대안적 접근이란거 정말 재밋네요 ㅋㅋ
    하나의 식에 똑같이 미분을 했는데 다르게 품으로써 저렇게 다른 식이 나온다는게 수학의 재미인거 같아요!
    답글

    • Oh 선생 2016.05.21 14:32 신고

      열심히 하고 있나? ㅎㅎ
      사실 내용 자체는 어렵지 않은데 저런 생각을 한다는게 참 기발한 것 같아. 공부 열심히 하시게나 ^^

  • 박석준 2016.05.21 22:13

    요새 항등식, 방정식 수업을 하고 있는데..
    중등 과정에서는 방정식 위주로 하는 것 같다는 생각이 드는데...
    항등식도 잘 다루면 재미있을 것 같아요 ㅎㅎ
    답글

    • Oh 선생 2016.05.24 13:01 신고

      "같은 것의 다른 표현"이라는 점을 강조해서 가르치면 재미질 것 같은데 교과서는 저런거에 별로 중점을 두지 않더라고... ㅋ

    • 박석준 2016.05.24 19:44

      그쵸!! 전 항등식에서 감동 받은 경우들이 엄청 많은데 ㅎㅎ
      그냥 '방정식에 대비되는 어떤 것'으로 정도밖에 대우를 못 받는 것 같아서..