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중2 활동지

등변사다리꼴의 대변의 길이가 같음을 증명하는 5가지 방법

by Oh 선생 2015. 11. 20.

중학교 2학년 수학의 꽃은 누가 뭐래도 증명이라고 생각한다. 


그래서 아이들에게도 최대한 다양한 증명을 만들어내라고 한다. 


하지만 다양한 증명을 만들 수 있는 문제는 그리 많지 않다. 



그런 와중에 이 "등변사다리꼴의 대변의 길이가 같음을 증명하라"는 문제는 


쉽고, 직관적이며, 다양한 아이디어를 적용할 수 있어서 참 좋은 문제다.



수업 중 내가 증명 1, 2를 보여주었고, 3, 4, 5는 다른 방식으로 증명해오면 사탕 준다 그랬더니 나온 증명들이다. 


사탕은 창의성에 혁혁한 기여를 한다. 사탕이 주어졌을 때 창의성이 폭발적으로 형성된다는 이론을 만들어도 된다.(?)



주어진 조건은, AD//BC 이고, 각 B = 각 C 인 상황이다. (등변사다리꼴의 정의. 아래 증명 그림 참조.) 


문제에서 보여야 하는 것은 AB = CD이다. 




증명1. 

CD와 평행하고 점 A를 지나는 선분 AE를 긋자. 이때 AD//EC이고 AE//DC이므로 사각형 AECD는 평행사변형. 


그러므로 CD=AE 이다. 한편 각 C와 각 BEA는 동위각인데 AE//DC이므로 각 BEA=각C이다. 그런데 가정에서 각C=각B


였으므로 각BEA = 각B. 그러므로 삼각형 ABE는 이등변삼각형. 즉, AE=AB. 다시말해 CD=AE=AB. 증명 끝. 


이건 교과서에 제시된 증명이다. 



증명2.




점 A, D를 지나며 BC에 직교하는 수선을 긋는다. 


이때 AD//EF이고(가정), AE//DF이다(동위각의 크기가 90도로 같다). 따라서 AEDF는 평행사변형. 


그러므로 AE=DF. 한편, 삼각형 AEB와 삼각형 DFC에서 각B=각C, 각AEB=각DFC=90도 이므로 각BAE=각CDF. 


따라서 각AEB=각DFC=90도, 각BAE=각CDF, AE=DF에 의해 삼각형 AEB와 DFC는 ASA합동. 따라서 AB=DC. 끝. 


이건 매년 나오던 증명 방법 중 하나다. ASA를 만들어내는게 쉽지 않아서 애들이 종종 하다가 포기한다. 



증명3. 



AB와 CD를 연장하여 교차하는 점을 E라 하자. 이때, 각B=각C이므로 삼각형EBC는 EB=EC인 이등변 삼각형. 


한편 각EAD=각B=각C=각EDA 가 성립한다(가정과, 평행선의 동위각의 성질에 의해). 그러므로 삼각형 EAD도 EA=ED인 


이등변삼각형. 이때, AB= EB-EA = EC-ED = DC 가 성립한다. 증명 끝.


채빈 학생의 증명. 



증명4. 




증명1의 아이디어와 유사한데, 평행선을 바깥에 긋는 아이디어. 점C를 지나며 AB에 평행한 직선을 긋고, AD의 연장선과의 교점을


E라 한다. 이러면 사각형 ABCE는 평행사변형. 


이때 각E=각B(평사의 성질). 


한편 각 EDC = 각C(엇각)=각B=각E. 


그래서 삼각형 DEC는 이등변삼각형. 앞과 같은 논리로 증명 끝. (AB=EC=DC가 되는 순서)


키 아이디어는 거의 비슷하지만, 약간의 변형이라도 했다는데 의미를 둘만한 증명. 




증명5. 



AB와 평행하고 D를 지나가게 DE를 만들고, 


DC와 평행하고 A를 지나가게 AE를 긋는다. 이때 사각형 ABED와 AECD는 각각 평행사변형. 


그러므로 각B=각ADE, 각C=각EAD. 그러므로 각ADE=각EAD가 되면서, 삼각형 AED가 이등변삼각형이 되어, 


앞과 유사한 논리로 증명 끝. 


>>>> 근데 이거 발표하던 중 비판이 나온다. 저 두 보조선을 그렸을 때 점E에서 만난다는 보장이 있느냐?



요런 반례를 든다. 


처음 아이디어를 냈던 녀석이 아, 그렇네요. 하면서 자기 풀이를 철수하고 들어간다. 



>>>>>쉬는 시간. 다른 녀석이 저 아이디어를 더 개선할만한 아이디어를 들고온다. 




적당한 위치에서, DC와 평행한 선분 HE를 만든다. 


그리고, 점 E를 지나가면서 AB와 평행한 선분 EG를 만든다. 


이때 사각형 ABEG와 사각형HECD는 평행사변형. 


그러므로 앞과 유사한 논의에 의해 삼각형 HEG는 이등변삼각형이 되고, 


앞과 유사한 논의에 의해 AB=GE=HE=DC가 된다. 증명끝. 


(사실 어느 지점부터는 하나의 키 아이디어를 뱅뱅뱅뱅 돌려쓰는 느낌이 없지 않다.) 





수학 교육을 통해 창의성을 길러야 한다는 말을 많이 한다. 


그러면서 종종 들어오는 말이 '융합' 되겠다. 그래서 창의융합 이라 하지 않던가. 



하지만 수학은 그 본질에 충실하는 것 만으로도 충분히 창의적인 과목이 될 수 있다고 믿는다. 

댓글2

  • 조인숙 2015.12.17 23:44

    중등 CMP교과서를 검색하다가 보물창고를 보았네요...
    항상 새로운 방법으로 아이들과 소통하고 싶지만 마음만 앞설 뿐 안주하고 있는 제 자신이 부끄럽네요 ^^;
    실례가 되지 않는다면 1-3학년 활동지를 파일로 받아 볼 수는 없는지요...
    선생님의 자료가 저희 아이들에게 정말 많은 도움이 될 거 같아 조심스럽게 부탁드려 봅니다.
    jaemin818@naver.com
    선생님 연말연시 잘 보내시고~항상 건강하세요~~^^*
    답글

    • Oh 선생 2015.12.23 10:58 신고

      죄송합니다. 활동지를 파일로 보내드리는건 지양하고 있습니다.
      대부분의 활동지는 수업 해본 뒤에 블로그에 올리고 있으니 아이디어만 보시고 직접 만드셔도 될 것 같습니다. ^^