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선생일기

수학에서도 다양한 관점은 중요하다.

by Oh 선생 2015. 10. 15.

#1.

 

수학을 공부하다보면 가끔 마음에 크게 감동을 받을 때가 있다.

 

나의 경우 푸리에 급수를 배울 때가 그랬다.

 

2005(10년 전...) 2학기에 해석개론2, 선형대수2, 미분방정식을 들었는데,

 

공교롭게도 학기말의 주제들이 모두 푸리에 급수로 모아졌다.

 

푸리에 급수란 간단히 말해 주기함수를 삼각함수의 합으로 표현하는 급수이다.

 

주기적으로 꾸불텅꾸불텅 하는 그래프를 가진 더러운 함수(?)를 비교적 다루기 간단한

 

삼각함수의 합으로 표현함으로써 좀 더 쉽게 다뤄보자는 거다






아무튼 이걸 세 과목에서 동시에 배우는데, 각 과목마다 푸리에급수에서 강조하는 지점이 조금씩 달랐다.

 

해석개론에서는 실제 함수와 그 푸리에 급수 표현이 평등수렴하느냐에 초점을 두고 배웠다.

 

(적어도 그당시 내가 느끼기엔 그랬다.)

 

이게 보장이 되어야 주기함수를 푸리에 급수 표현으로 대신할 수 있을 테니까.

 

선형대수에선 푸리에급수가 어떤 존잰가에 대해 배웠던 것 같다.

 

sin nxcos nx 가 함수공간의 기저가 되고, 이 공간의 원소(함수)를 각 기저에 정사영시켜 


각 기저에 해당하는 계수를 구하고, 그걸 도로 합쳐서 표현하는게 푸리에 급수라는 말이다


한편 미방에선 결론적으로 이걸 이용해서 미방을 푸는걸 배웠던 것 같다.

 

(대충 쓰는 건, 기억이 잘 안난단 소리다. 뭐 많이 풀긴 했는데 ... --;)

 


세 과목에서 같은 걸 배우지만, 각 과목마다 개념에서 강조하는 부분이 다르고


이를 통해 통합적인 이해를 가질 수 있었다는 건 당시 나에겐 상당히 큰 감동이었다.



#2. 


중고딩들 문제 풀리다보면, 이런 문제들이 있다. 


x^2 + y^2 =1과 -x+y=k가 교점을 갖지 않는 k의 범위를 구하시오. 


대수적인 접근을 선호하는 녀석(내가 주로 고1 때 그랬는데)


y=x+k를 대입해서 


x^2 + (x+k)^2 = 1, 이걸 풀면 결국 2x^2 + 2kx + k^2-1 =0이 되고, 


여기에서 D/4 = -K^2 +2 <0 이 되어 


k> sqrt 2 혹은 k < -sqrt2 로 결론을 내릴거다. 


근데 기하적인 눈으로, 앞의 방정식의 그래프가 반지름 1인 원이고 두 번째 방정식의 그래프가 직선이라는걸 이해하면


교점()가 없으려면 직선이 원점으로부터의 거리가 1보다 크면 되겠다는 걸 직관적으로 이해할 수 있다


그러면 점과 직선사이의 거리를 이용해서, d=|k|/sqrt2 >1 을 유도하고, 결국 같은 결론을 얻을 수 있다. 


풀이의 쉽고 어렵고는 둘째 치고, 서로 다른 관점으로 문제를 바라보면 다른 풀이를 할 수 있고


더 통합적인 이해를 할 수 있다는 것 정도는 느낄 수 있다



#3.

 

그러니까, 수학의 문제에 있어서도 서로 다른 관점에서의 접근이 각각의 의미를 가지고 서로 다른 이해와 배움을 낳는데


해석이 그 핵심일 역사의 문제에 있어서도 단일한 관점을 요구하는 건 


좌편향이고 우편향이고 독재고 민주고 하는 정치적인 얘기를 떠나서도, 


애들의 사고를 절름발이로 만드는 꼴 밖엔 안된단 소리다



시키면 시키는 대로 하고, 비판할줄 모르는 병신 만드는게 의도가 아니라면, 제발 여러 사람들이 하지 말라는건 


좀 '숙고'하고 안했으면 싶다. 

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