#1. 


중학교에만 있다보니 고등학교 수학 내용을 많이 까먹는다. 


굵직굵직한 내용은 몸에 새겨진거라 잊을리 없지만, 디테일을 많이 잊어버렸는데... 


그 중 하나가 "함수와 그 역함수의 그래프는 y=x에서 만난다"라는 명제에 관련된 내용이다. 



물론 저 명제는 맞다. 


하지만 문제는 y=x에서 '만' 만나는거냐? 하는 거다. 





#2. 


대충 예를 들어보자. 일단 y=x에서만 교점이 생기는 사례. 


y=2x+1를 생각하자. (꼬꼬마 들을 위해 과정을 쓰자면) 역함수 만들려면 x, y바꿔야 하니까. 


x=2y+1. 


x-1 = 2y.


y=(x-1)/2. 


그러니까 y=2x+1과 y=(x-1)/2가 역함수 관계에 있는 애들이다. 


그래프는 다음과 같다. 



y=x에서만 교점이 생긴다. 



좀더 고급진 예를 들어보자. y=e^(x-3)과 y=lnx +3. 이 둘의 그래프도 다음 그림처럼 y=x에서만 그래프가 생긴다. 




이쯤되면 함수와 역함수의 그래프는 y=x에서만 교점이 생긴다고 믿어도 될 것 같다. 



#3. 


그런데 의외로 해답은 쉬운데서 나온다. 


y=sqrt(1-x)을 생각해보자. 이거 역함수는 y=1-x^2이다. 


그래프는 다음과 같다. 




교점이 3개가 나오고, 그 중 (0,1)과 (1,0)은 y=x위에 있지 않은 점이다. 



요런 사례들은 하나 정도 알고 다니면 인생이 편안한 듯 하다. 


(혹시 다른 사례 있으면... 알려주세요... 이거 너무 trivial해보이는 예시라...)


 

Posted by Oh 선생

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  1. onam 2016.05.16 15:21 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    y=-x 의 역함수는 y=-x 이고 교점은 모두 y=-x 위에 있습니다. 이것도 너무 당연한 예시 같아요 ㅜ

  2. 327호학생 2016.05.20 23:50 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요. 앞방에서 공부하는 후배입니다.

    두 실수 a, b를 a<b가 되도록 아무렇게나 정한 후, 두 점 (a,b)과 (b,a)을 지나는 아무 감소함수를 생각하여 y=f(x)라 두면, f는 감소함수이기에 일대일 함수이므로 정의역과 치역만 잘 조절해주면 역함수 g가 존재하게 되며, g는 물론 (a,b), (b,a)를 모두 지납니다. 교점을 더 많이 늘리고 싶으면 (c,d), (d,c)를 추가로 찍어서, 네 점을 모두 지나는 감소함수를 만들면 되겠습니다.

    어떤 함수와 역함수가 y=x 밖에서 만나는 점이 유한개라면, 물론 짝수개일 것 같네요.

    예를 들어, #3의 예시는 (1,0)과 (0,1)을 모두 지나는 감소함수 y=sqrt(1-x) (혹은 y=1-x^2)를 잡은 것으로 해석하면 됩니다. 윗분께서 말씀하신 y=-x, 또는 y=1/x 도 마찬가지입니다.

    그러면 좋은 주말 보내세요~ ㅎㅎ

  3. tvjeong@daum.net 2017.12.16 10:10 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    역함수가 인생에 도움뿐아니라 밥벌이에도 절대적입니다.
    지수함수 Y=2^X 의 역함수는 X=log2 Y 로그함수로 공식화 되었지만,
    만약, 지수함수 밑수인 2 를 변수로 가져갈 경우 , 역함수 X=Y 관계식을 구해 주실수 있나요??
    ex) Y=X^2.2 의 (Y=X 역함수 관계식은) X= ??? 어찌 될려나. Tvjeong@hotmail.com 감사합니다.

    • Oh 선생 2017.12.18 12:46 신고  댓글주소  수정/삭제

      아무래도 제가 질문을 잘 이해하지 못한 것 같습니다만... 일단 답을 드리자면
      y=x^a (a는 임의의 실수)인 상황에서 역함수를 찾으면 y=x^(1/a)가 됩니다. 물론 역함수가 존재할 상황을 따지건, 정의역을 제한하건 뭐 그런 얘기가 필요하겠지요.

      그나저나 역함수가 밥벌이엔 어떻게 절대적인가요?? 궁금해서... ㅎㅎ