#0.


드디어 문자와식 단원이다. 이제 본격적으로 추상적인 세계로 들어가는 단원인만큼, 준비과정에 고민이 많았었다. 


애들 수준에서 문자의 의미는 대충 3가지 정도로 생각해볼 수 있다. 


- 다가이름으로서의 문자(여러 가지 값이 들어갈 수 있는 수. 500원짜리 아이스크림이 1개일땐 500원, 2개일땐 500*2원, n개일 땐 500n원 이라고 접근할 때의 의미)

- 자리지기로서의 문자(초딩 때의 □를 문자로 바꿔서 접근하는 경우, 혹은 항등식에서의 문자의 의미)

- 변수로서의 문자


교재연구 책에는 정적의미로서의 문자와 동적의미로서의 문자로 나뉘는데 앞의 두개가 정적이고 뒤의 하나가 동적인거다. 


이 세 가지 의미에 따라 애들에게 문자를 소개하는 맥락이 모두 다를 수 있다. 특히 첫번째 맥락과 세 번째 맥락은 차이가 크다.



현재 대부분의 교과서는 위와 같은 방법으로, 첫 번째 맥락에서 문자를 소개하고 있다(두산동아).



#1. 


그럼 나는 반골답게(?) 세 번째 맥락으로 간다. 교과서에서 제시하지 못하는 문자의 의미를 설명하기도 하면서, 


프루이덴탈님이 문자는 변화하는 상황을 표현시키면서 가르쳐야한다고 했던 말을 따라가기도 하면서. 




이런 식이다. 패턴찾기. 애들은 의외로 곧잘 한다. 


예전에 최수일 샘이 말씀하셨던 걸 기억해서, 221단계 같은 적당히 크지만 주먹구구로는 접근할 수 없는 단계를 집어 넣었다. 


문제는 4)번에 있다. 221단계를 그럴듯하게 계산하던 애들이, n단계에 대해서 이해를 잘 못한다. 전이가 안되는 건가 보다. 


수업하다가 나도 조금 당황했다. 그래서 일단 애들은 2)번,혹은 3)번 까지만 하라고 하고 발표로 넘어갔다. 


애들의 풀이 중 하나는 (221-1)*4 +1 이었는데, 이건 네 팔의 점의 갯수를 세고, 가운데 점을 더한 계산법이다. 


이제 나의 발문은, 그 식이 저 그림과 어떻게 관련이 있느냐? 라고 묻는 것이었다. 의외로 지들의 풀이가 그림과 어떻게


관련이 되어있는지 쉽게 생각하질 못한다. 잠시 고민하더니 곧 네 팔을 각각 타원으로 묶어서 타원 네 개를 그린다.


그리고 가운데 플러스 일 이란다. 거기까지 하니까 3), 4)번, 이제 n단계가 된다. n의 의미가 뭔지 눈에 보이나보다. 


(정확하게는 n-1이겠지...)


n단계를 문자로 곧장 줄 때는 이해를 못하기 때문에, 중간에 시각적인 단계를 하나 넣어줘야 한다. 


Radford의 연구에선 꼬맹이들이 저 시각적인 단계를 스스로 만들어내고 거기서 문자를 도입했지만, 


발달단계가 지 멋대로인 중학교 교실에서 그 발견의 단계를 기다려주긴 좀 어렵고, 


의도적으로 시각적 단계를 발문으로 유도한거다. 적지 않은 애들이 무리없이 넘어왔다고 생각했다. 


아래 과제는 유명한 Border problem. 위랑 유사하게 접근했다. 




기호의 생략 파트다. 내용을 정리하고, 연습하는 방식으로 나갔다. 전형적이다. 


밑의 문제를 쭉~ 내긴 했는데 몇 가지 실수했다 싶은 것들도 있다. 밑에서 4번째 건 애들이 풀면 안되는 문제다. 



대입과 식의 값을 배운다. 예전에 선배에게 들었던 아이디어를 활용했다. 선배님의 은혜는 오래 간다. 


날씨도 겁나 좋은 때고 해서, 애들 데리고 잠깐 운동장에 나갔다. 한 10분이면 측정을 해낸다. 



측정을 하고 있다. 키를 이용하여 피구장의 긴 쪽의 길이를 재는 중. 저렇게 몇 번 더 눕고 남는 부분은 팔꿈치 등으로 잰다. 


 

다녀와서 칠판에 각 모둠에서 측정한 것들을 식으로 표현한다. 

(올해 애들이 참 예쁜데 블로그에 올라가는 사진엔 블러처리를 해야해서 좀 글타. 쫌.)


이제, 저 식에다가 구체적인 값을 집어넣을거다. 이건 그 준비과정. 30cm자를 이용해서 키를 실측하는 중이다. 





지들이 만든 식에 실측 자료를 대입해서 식의 값을 만들어낸다. 이걸로 대입과 식의값은 끝. 교과서를 보면서 정리를 조금 했다. 



용어가 많아서 제껴버릴까 어떻게 할까 하다가, 조금 지겹더라도 용어를 차근차근 밟아가고, 교과서 순서를 준수하자는 생각에


만든 활동지. 좀 지겨워했다. 


식의 계산 = 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리를 가르치기 전에 뭔가 생각할 맥락이 필요하지 싶어서 만든 활동지.


생각열기 문제의 1번 답은 4만원. 2번 답은 4n. 3번 답은 20000n. 여기에서 20000n이 어떻게 나오는지를 생각해보면,


5000*4n을 했다. 근데 결과를 보면 20000n이다. 어떻게 계산한 것 같니? 숫자끼리요. 라고 유도하는 과정이다.


(근데 좀 어설펐다--;)



동류항을 가르치기 위해 만든 활동진데, 동류항이 아닌 상황을 이용해서 도입하는게 조금 에러지 싶다. 


측정이 안되며, 이유는 두 사람의 키와 팔꿈치 길이가 달라서 라고 말하는 등 애들이 동류항의 필요성은 말할 수 있지만 


정작 동류항 개념으로 유도가 안되더라. 나중에 애들에게는 2010년, 2014년 동계올림픽에서 딴 금, 은, 동 메달을 어떻게 


계산할것이냐? 하는 소재로 다시 가르쳤다.



이건 방정식으로 넘어가기 전에, 식의 계산 파트에서 할만한 활용문제들. 




꽤 심혈을 기울여 만든 활동지. 용어는 대충 설명하고 넘길거고... (난 애들이 왜 벌써 항등식을 배워야 하는지 잘 모르겠다.)


아래는 일차방정식을 푸는 방법을 좀 설명해보려고 만든 활동지. 


현재 교과서의 접근은 저울을 이용해 등식의 성질을 동적으로 익히고, symbolic하게 정리한뒤, 그 성질을 이용해서


대수적으로 일차방정식을 해결하는데 초점을 둔다. 문제의식은 여기서 생긴다. 등식의 성질을 이용해서 


덧셈뺄셈나눗셈으로 x를 찾아내는 과정이 아이들에게 쉬울까? 너무 추상적인-기계적인 풀이방법을 제시하는건 아닐까?


이 과정에서 역시 동적인 - 혹은 영상적인 중간 단계가 필요한 것은 아닐까? 하는 생각들. 



찾아보면 역시 답은 있다. 외국 교과서에는 cup and counter모델이라고 보통 소개되는데... 그걸 가져왔다. 


등식의 성질은 대충 저울의 성질이라고 퉁쳤다. 아직 등식의 성질을 a=b이면 a+c=b+c 따위로 알기보다는, 직관적으로 


가져가려고 한다. 


추측이 아니라 저울의 성질을 쓰라고 강요를 해야하다보니, 직쏘박사를 데려왔다. --; 



아마 애들은 풀기는 금방 풀거다. 어떻게 표현해야하는지 자체를 몰라서 어리버리하겠지만, 예시를 하나 정도는 


들어줄 계획인지라. 예시는 실제 편지봉투와 동전을 이용해서 보여주고, 그 담엔 손으로 해보게 시킬거다.


발표도 시켜야 풀이과정에 대한 이해가 되겠지. 이 이후에 등식의 성질을 정리해주고, 여기서 했던 action을 생각하면서


대수적 절차를 가르칠 거다. 잘 되려나 모르겠다. 이건 해보고 나중에 다시 좀 더 덧붙이겠다. 



실행해 봤더니 저 단계에선 생각보다 쉽게 쉽게 넘어가더라. 조작만 하면 되니까 큰 어려움이 없다.


경험상 보통 이 부분에서 애들이 겪는 어려움은 크게 '이항'과 'x의 계수 나누기'에 있다. 


이항의 경우 등식의 성질을 충분히 이해하지 못하고 이항으로 넘어가버리니까 이항의 원리도 모르고, 일상 용어와의 문제도 있고 


해서 어려움을 겪었는데, 저렇게 해놓고 나니 그런 부분은 많이 사라지더라.


(이항 = 항을 "옮긴다"라고 많이 표현하는데, 사실 항은 옮겨지는거 아니지 않나. 식이 막 액션을 취할 수 있는 대상도 아니고...


한 쪽에서 지워지고 한 쪽에서 부호가 다른 항이 더해지는건데 이걸 옮긴다고 표현하니 애들이 이항하며 부호바꾸는걸 


종종 헷갈린다. 이항의 원리를 모르는 탓이다.)



x의 계수로 나누는 경우도 마찬가지, 이걸 곱해요 나눠요...많이 헷갈리는데, 저렇게 두 덩어리를 1개로 만든다는 이미지를


주고나니 x의 계수로 나눈다는 절차가 확실히 인식되는 듯 하다. 


이 뒷부분에서, 유리수 계수를 다루기 어렵다는 모델의 한계를 말하며 방정식을 식으로 풀어나가는 법을 가르치는데,


그 과정에서 (1/2)x = 1 같은 방정식을 풀 때 애들이 1/2로 "나눈다"라는 말을 했다.


예년에는 "2를 곱해요"라고 하는 빠른 애들과, "2로 나누나?" 하는 애들과, 기타등등 여러가지로 복잡했는데 올해는 비교적 


반응들이 한 가지로 집중된 느낌이 있다. 의도한 대로 배우고 있다는 느낌이다. 



이제, 등식의 성질을 이용한 방정식 풀이다. 애들 의외로 잘푼다.


아래의 Hot problem은 0으로 나누지 않는다는걸 강조하기 위해서 넣었다. 




이건 계수가 더러운 경우의 문제. 아래의 문제는 애들이 종종 헷갈려하는 부분을 넣었다. 


근데 저런 오류가 중2들한테는 심심찮게 발견되는데 중1들한테는 의외로 잘 안나온다 --; 


배운지 한참 된 애들이나 저렇게 하나보다. 





지극히 평범한 활용 문제. 마지막 문제는 방정식 활용이라기보다는 문자와 식 문제다. 


사실 방정식의 활용 문제는 중요하긴 한데, 자연스러운 문제상황 만들기가 어렵다. 애들 수준의 방정식으로 해결되는 문제는


몇 없으니까. 그래서 자연스럽게 들어오는건 7번 프린트에 있는 생각한 수 맞추기 같은 게임인데, 이건 유형이 한정된다.  


상황을 수학화하려면 대충 필요에 따라 적당한 생략과 모형화 단계가 필요할건데, 구체적 사고 수준에서만 생각할 수 있는


중학생들에게 실제 상황을 추상화시켜 필요한 요소만 딱 골라내서 수학세계로 넘어오는게 쉽지 않아보인다. 


그러다보니 문제는 백날 내던 거속시와 액자의 가로세로 뭐 그딴 문제들이다. 사실 저런걸 누가 일상생활에서 푸냐--;


암튼 이렇게 해서 2단원은 얼추 마무리가 되었다. 



새로운 시도는 : 문자도입(변화하는 양), 동류항 과 식의 값(신체로 측정하기), 등식의 성질(cup and counter모형).


아직 숙제는 : 활용문제, 방정식 용어 도입 문제 등이 있다. 

  



초임교사(올해 1정 받는데, 이제 초임자도 뗄 때가 됐다...)의 수업은 언제나 불안정의 연속이다. 


중1들 보면 신체적으로나 정신적으로나 참 불안정한 때라고 생각되는데, 어쨌든 꼬맹이들 쑥쑥 자라는거 보면 나도 언제가 되었건


성장하는 때가 있겠지 싶다. 


Posted by Oh 선생

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  1. 박석준 2015.05.11 22:36 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저도 올해 일정인데... 왜 초임같죠......ㅋㅋㅋ

  2. 지윤 2016.04.05 22:51 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    선생님! 학습지 정말 멋지십니다.^^

  3. 수경 2016.05.07 12:59 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    선생님~~ 방정식의 의미와 퇴직금의 의미가 어떻게 연결되는 걸까요?

    • Oh 선생 2016.05.08 11:50 신고  댓글주소  수정/삭제

      무슨 말씀이신지... --; 질문에 맥락이 없어서 대답해드리기 어렵습니다.
      퇴직금은 퇴직전 3개월 월급 평균 * 3 으로만 알고 있는데...--;

    • 수경 2016.05.15 11:48 신고  댓글주소  수정/삭제

      앗 그게.. 8번 활동지 주석에 방정식의 의미를 설명하실때 퇴직금을 일시불로 받을지 연금으로 받을지 예를 드신다고 하셔서요 더 자세한 설명 알구 싶어서요~~ 중1이 이해할수 있게 설명할수 있을까 싶구요~~

    • Oh 선생 2016.05.16 09:00 신고  댓글주소  수정/삭제

      아마 의도는 연금과 일시불 중 뭐가 더 유리하냐를 판단하려면 방정식을 알아야 한다 정도로 쓴 것 같은데, 구체적으로 무슨 생각으로 썼나 기억이 안나네요(...) 별거 아닌데 궁금하게 만들어드린 것 같아 미안합니다--; (사실 연금과 일시불도 부등식에 더 가까워서, 저런 예를 왜들었지? 싶네요--;)

  4. 휘리릭 2018.05.16 21:34 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    초임교사인데 문자와 식을 어떻게 도입할까하다가 선생님 블로그 발견하고 참고를 많이했습니다.
    감사한 마음에 댓글 남겨요.

    • Oh 선생 2018.05.20 08:25 신고  댓글주소  수정/삭제

      감사합니다. 초임교사들은 항상 돕고 싶은 마음이 있어요. 제가 중학교를 떠서 자료 업뎃이 영 시원찮은데... 아무튼 좋은 수업들 하시길 바랍니다.

  5. 2018.05.23 15:02 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    동류항 도입 부분에서 질문드려두 될까요 ?
    2010년 2014년 금은동메달을 이용해서 어떻게 동류항 개념을 설명하셨나요??

    • Oh 선생 2018.05.24 06:26 신고  댓글주소  수정/삭제

      별건 아니고... 2번의 올림픽에서 메달 몇 개 땄냐? 물어보면 뭐라고 대답할거냐 해서... 금메달 x개, 은메달 y개...그렇게 대답하면, 왜 한꺼번에 더하지 않고 메달별로 따로 부르냐 묻고, 한꺼번에 더하는건 어색하지 않느냐, 실제로 순위 정할 때도 메달별로 차등을 주지 않냐, 하는 식의 얘기를 했던 것 같습니다. 요지는 금메달갯수+은메달갯수를 하는게 적당치 않다는 거죠 뭐. 그게 곧 동류항 얘기기도 하고...

  6. 지나가는수학샘 2018.06.04 13:34 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    선생님! 늘 와서 몰래 보고 가고 글을 처음 남겨봅니다... 선생님께서 올리신 글을 보며
    많이 배우고 있습니다...ㅠㅠ학습지도 너무 재미있는 부분이 많은 것 같아요!
    많이 도움받고 있습니다...정말 정말 감사드립니다!! 직쏘로 만드신 등식의 성질도
    따라하려구요 선생님...이렇게 소중한 수업 자료를 공개해주셔서 정말 감사드립니다!!!